數學 B1 P68–P78｜國一完整解題

先把 −6/8 約成最簡分數：
−6/8＝−3/4。

逐一計算：
(A) −(24＋6)/(24＋8)
＝−30/32
＝−15/16，和 −3/4 不相等。

(B) −(24−6)/(24−8)
＝−18/16
＝−9/8，和 −3/4 不相等。

(C) −(24×6)/(24×8)
分子、分母都有公因數 24，可以同除以 24：
＝−6/8
＝−3/4。
所以 (C) 正確。

(D) −(24÷6)/(24÷8)
＝−4/3，和 −3/4 不相等。

先把 −30/42 約分：
−30/42＝−5/7。

第一格：
−5/□＝−5/7
所以 □＝7。

第二格：
−□/28＝−5/7。
7 變成 28，是乘 4；
所以分子 5 也乘 4：
5×4＝20。
所以 □＝20。

第三格：
45/□＝−5/7。
−5 變成 45，是乘 −9；
所以 7 也要乘 −9：
7×(−9)＝−63。
所以 □＝−63。

先化簡：
−3 5/10＝−3 1/2＝−7/2。

第一格：
−3 1/□＝−3 1/2，
所以 □＝2。

第二格：
−14/□＝−7/2。
−7 變成 −14，是乘 2；
所以分母 2 也乘 2：
2×2＝4。
所以 □＝4。

第三格：
−□/6＝−7/2。
2 變成 6，是乘 3；
所以 7 也乘 3：
7×3＝21。
所以 □＝21。

先把 12/18 約分：
12/18＝2/3。

第一格：
2/□＝2/3，
所以 □＝3。

第二格：
(12＋□)/(18＋9)＝2/3。
18＋9＝27。
所以 (12＋□)/27＝2/3。
3 變成 27，是乘 9；
2 也乘 9 得 18。
因此：
12＋□＝18
□＝18−12＝6。

第三格：
−10/□＝2/3。
2 變成 −10，是乘 −5；
所以 3 也乘 −5：
3×(−5)＝−15。
所以 □＝−15。

依題面文字，「分子減 5」表示原來的分子 24 變成：
24−5＝19。

所以：
19/□＝3/4。

用交叉相乘：
19×4＝3×□
76＝3×□
□＝76/3。

原分數＝3/5。
分子加 6 後：
3＋6＝9。

設分母要加 x，則新分母是 5＋x。
要保持分數值不變：
9/(5＋x)＝3/5。

交叉相乘：
9×5＝3×(5＋x)
45＝15＋3x
45−15＝3x
30＝3x
x＝10。

18/30＝3/5。

(1) 36/60＝3/5，所以相等。
(2) −9/−15＝9/15＝3/5，所以相等。
(3) −6/10＝−3/5，不相等。
(4) 3/−6＝−1/2，不相等。

所以依題面數值，(1)、(2) 都相等。

−4/6＝−2/3。

(1) −(4＋12)/(6＋12)＝−16/18＝−8/9，不相等。
(2) −(4−12)/(6−12)＝−(−8)/(−6)＝8/(−6)＝−4/3，不相等。
(3) −(4×12)/(6×12)，分子、分母同乘 12，所以分數值不變，等於 −4/6。
(4) −(12÷4)/(12÷6)＝−3/2，不相等。

所以答案是 (3)。

以 −5/7 為基準。

第一格：
7 變成 28，是乘 4；
5 也乘 4：
5×4＝20。
所以第一格＝20。

第二格：
5 變成 10，是乘 2；
7 也乘 2：
7×2＝14。
所以第二格＝14。

先約分：
−15/6＝−5/2。

所以 −□/2＝−5/2，第一格＝5。

又 −10/□＝−5/2。
5 變成 10，是乘 2；
2 也乘 2：
2×2＝4。
第二格＝4。

原分母＝15。
加 10 後的新分母：
15＋10＝25。

原分數：
9/15＝3/5。

分母 5 變成 25，是乘 5；
所以分子 3 也乘 5：
3×5＝15。

原分子是 9，因此要增加：
15−9＝6。

36 和 30 的最大公因數是 6。
分子、分母同除以 6：
−36/30＝−(36÷6)/(30÷6)
＝−6/5。

14 和 91 都可被 7 整除：
14÷7＝2
91÷7＝13。

所以：
−14/91＝−2/13。
2 和 13 已互質，所以是最簡分數。

−1.25＝−125/100。

125 和 100 的最大公因數是 25：
−125/100
＝−(125÷25)/(100÷25)
＝−5/4。

因為分數小於 1，而且分子是正整數，所以分子要：
小於 15。

又要是最簡分數，所以分子要和 15 互質。
15＝3×5，因此分子不能是 3 或 5 的倍數。

1～14 中逐一刪掉：
3、5、6、9、10、12、15（15 本來也不在範圍內）。

剩下：
1、2、4、7、8、11、13、14。
共 8 個。

先把左右兩個分數通分成分母 30：
−7/15＝−14/30
−4/5＝−24/30。

所以：
−14/30 ＞ 甲/30 ＞ −24/30。
因為分母都相同而且是正數，只要比較分子：
−14 ＞ 甲 ＞ −24。

因此甲可能是：
−15、−16、−17、−18、−19、−20、−21、−22、−23。

但 甲/30 還要是最簡分數，所以 |甲| 要和 30 互質。
30＝2×3×5。

逐一檢查：
15 與 30 有公因數；16 有 2；17 互質；18 有 2、3；19 互質；20 有 2、5；21 有 3；22 有 2；23 互質。

所以甲＝−17、−19、−23，共有 3 個。

21 和 12 的最大公因數是 3：
−21/12＝−(21÷3)/(12÷3)
＝−7/4。

99＝9×11，121＝11×11。
分子、分母同除以 11：
−99/121＝−9/11。

−0.5＝−5/10。
分子、分母同除以 5：
−5/10＝−1/2。

分子要是 1～11 的正整數。
又要和 12 互質。
12＝2²×3。

所以分子不能是 2 的倍數，也不能是 3 的倍數。
1～11 中符合的是：
1、5、7、11。
共 4 種。

把 1/4 和 1/3 都化成分母 36：
1/4＝9/36
1/3＝12/36。

介於兩者之間的分數可能是：
10/36、11/36。

10/36 可以同除以 2，並不是最簡分數。
11 和 36 互質，所以 11/36 是最簡分數。

答案＝11/36。

3、4、6 的最小公倍數是 12。

−2/3：分母 3×4＝12，所以分子也×4：
−2/3＝−8/12。

−3/4：分母 4×3＝12，所以分子也×3：
−3/4＝−9/12。

−5/6：分母 6×2＝12，所以分子也×2：
−5/6＝−10/12。

兩個分母：
第一個＝2³×3×5²
第二個＝2×3²×5³。

共同分母取每個質因數的較大次方：
2³×3²×5³。

第一個分母還缺：
3×5＝15。
所以分子也乘 15：
−1/(2³×3×5²)
＝−15/(2³×3²×5³)。

第二個分母還缺：
2²＝4。
所以：
−1/(2×3²×5³)
＝−4/(2³×3²×5³)。

先看 a：
a=(7/15−3/14)−1/13
＝7/15−3/14−1/13。
這和 c 完全相同，所以：
a＝c。

再看 b：
b＝7/15−(3/14−1/13)。
括號前是減號，去括號後，括號內兩項都要變號：
b＝7/15−3/14＋1/13。

而 c＝7/15−3/14−1/13。
最後一項一個是＋1/13，一個是−1/13，所以：
b≠c。

故選 (B)。

負帶分數：
−5 7/9＝−(5＋7/9)。

把負號分配進括號：
−(5＋7/9)
＝−5−7/9。

所以正確的兩種寫法是：
−(5＋7/9)、−5−7/9。
而 −5＋7/9 不等於 −5 7/9。

−8 2/5＝−8−2/5。
所以原式：
−8 2/5＋3/4
＝−8−2/5＋3/4。

又因為：
−(2/5−3/4)＝−2/5＋3/4，
所以：
−8−(2/5−3/4)
＝−8−2/5＋3/4。

因此這兩種都正確。

括號前有一個負號：
−(67/71−1/2−7/15)。

去括號時，每一項都變號：
＋67/71 變 −67/71；
−1/2 變 ＋1/2；
−7/15 變 ＋7/15。

所以：
−67/71＋1/2＋7/15。

原式：
(−67/71)−(1/2−7/15)。

第二個括號前是減號，所以去括號：
−(1/2−7/15)
＝−1/2＋7/15。

因此原式＝
−67/71−1/2＋7/15。

也可以寫成：
−(67/71＋1/2)＋7/15。

左邊：
−(1/2＋1/3)
＝−(3/6＋2/6)
＝−5/6。

右邊：
(−1/2)−(−1/3)
＝−1/2＋1/3
＝−3/6＋2/6
＝−1/6。

−5/6≠−1/6，所以不成立。
答案＝2。

左邊：
−(1/2−1/3)
＝−(3/6−2/6)
＝−1/6。

右邊：
1/3＋(−1/2)
＝2/6−3/6
＝−1/6。

兩邊相等，所以成立。
答案＝1。

左邊：
−(−1/2−1/3)
去括號後兩項變號：
＝1/2＋1/3
＝3/6＋2/6
＝5/6。

右邊：
1/3＋1/2＝2/6＋3/6＝5/6。

兩邊相等，所以答案＝1。

先把負帶分數寫清楚：
−1 3/16＝−1−3/16。
所以原式：
(−1−3/16)−(2＋3/7)。

把它看成四項相加：
−1−3/16−2−3/7。

加法可以交換順序：
＝−2−3/7−1−3/16
＝(−2−3/7)−(1＋3/16)。

這正是選項 (4)。

先把 2 5/6 化成假分數：
2 5/6＝(2×6＋5)/6＝17/6。

原式：
−4/15−17/6。
15 和 6 的最小公倍數是 30：
−4/15＝−8/30
−17/6＝−85/30。

所以：
−8/30−85/30
＝−93/30
＝−31/10。
也就是 −3 1/10。

2 2/15＝32/15。
−1 1/9＝−10/9。

所以：
32/15−10/9。
15 和 9 的最小公倍數是 45：
32/15＝96/45
10/9＝50/45。

96/45−50/45
＝46/45
＝1 1/45。

−2 2/5＝−12/5。
3 1/3＝10/3。

原式：
−12/5−7/4＋10/3。

5、4、3 的最小公倍數是 60：
−12/5＝−144/60
−7/4＝−105/60
10/3＝200/60。

相加：
(−144−105＋200)/60
＝−49/60。

答案＝−49/60。

先去括號：
7/11−(6/13−4/11)
＝7/11−6/13＋4/11。

先合併同分母：
7/11＋4/11＝11/11＝1。

所以：
1−6/13
＝13/13−6/13
＝7/13。

先把同分母的部分重新排列：
14 3/8＋4 1/9−(−2 1/9＋12 3/8)
＝14 3/8＋4 1/9＋2 1/9−12 3/8。

先算八分之一組：
14 3/8−12 3/8＝2。

再算九分之一組：
4 1/9＋2 1/9＝6 2/9。

所以總和：
2＋6 2/9
＝8 2/9
＝74/9。

第一個絕對值：
|−5/2−(−5/3)|
＝|−5/2＋5/3|
＝|−15/6＋10/6|
＝|−5/6|
＝5/6。

第二個絕對值：
|−13/6−7/6|
＝|−20/6|
＝20/6
＝10/3。

所以原式：
5/6−10/3
＝5/6−20/6
＝−15/6
＝−5/2。

先算各次方：
(−2)²＝4
(−2)³＝−8
(−2)⁴＝16。

原式：
1/(−2)−2/4＋3/(−8)−4/16
＝−1/2−1/2−3/8−1/4。

通分成分母 8：
−1/2＝−4/8
−1/2＝−4/8
−1/4＝−2/8。

所以：
(−4−4−3−2)/8
＝−13/8。

第一個分母＝2×3³×5²。
第二個分母＝2³×3²×5。

最小公倍數取：
2³×3³×5²。
其值＝8×27×25＝5400。

第一個分母要乘：
2²＝4，
所以第一個分數＝4/5400。

第二個分母要乘：
3×5＝15，
所以第二個分數＝15/5400。

相減：
4/5400−15/5400
＝−11/5400。

先比較三個數的大小。

1 100/151 約為 1.66；
2 19/51 約為 2.37；
3 115/151 約為 3.76。
所以順序是：
1 100/151 ＜ 2 19/51 ＜ 3 115/151。

因此：
|第一個−第二個|＋|第二個−第三個|
＝(第二個−第一個)＋(第三個−第二個)
中間的「第二個」一加一減會抵消：
＝第三個−第一個。

＝(3 115/151)−(1 100/151)
＝2＋15/151
＝2 15/151
＝317/151。

先分解分母：
143＝11×13
91＝7×13。

最小公倍數＝7×11×13＝1001。

1/143＝7/1001。
1/91＝11/1001。

相加：
7/1001＋11/1001
＝18/1001。
18 與 1001 互質，所以已是最簡分數。

要讓三數和最小，就選數值最小的三個數。

由小到大先看：
−8 3/5 最小；
−3 1/2 第二小；
正數中 1 1/4 ＜ 2 1/3 ＜ 6 1/3。

所以要選：
−8 3/5、−3 1/2、1 1/4。

化成假分數：
−8 3/5＝−43/5
−3 1/2＝−7/2
1 1/4＝5/4。

通分成 20：
−43/5＝−172/20
−7/2＝−70/20
5/4＝25/20。

相加：
(−172−70＋25)/20
＝−217/20
＝−10 17/20。

先去括號：
−29/13−8/3＋3/13。

先合併分母 13：
−29/13＋3/13
＝−26/13
＝−2。

所以：
−2−8/3
＝−6/3−8/3
＝−14/3。

−1 2/3＝−5/3。

所以：
−5/3＋7/2。
通分成 6：
−10/6＋21/6
＝11/6。

−2 5/9＝−23/9。

減去負數等於加上正數：
5/6−(−23/9)
＝5/6＋23/9。

6 和 9 的最小公倍數是 18：
5/6＝15/18
23/9＝46/18。

相加：
15/18＋46/18
＝61/18。

−1 2/3＝−5/3。
1 7/8＝15/8。

所以：
−5/3−15/8。
通分成 24：
−5/3＝−40/24
−15/8＝−45/24。

相加：
−40/24−45/24
＝−85/24。

原式：
−1/4＋4/3−5/2。

4、3、2 的最小公倍數是 12：
−1/4＝−3/12
4/3＝16/12
−5/2＝−30/12。

相加：
(−3＋16−30)/12
＝−17/12。

答案＝−17/12。

先化假分數：
3 1/4＝13/4
2 1/3＝7/3
2 3/4＝11/4
3 2/3＝11/3。

原式：
13/4＋7/3−(11/4−11/3)。

去括號：
＝13/4＋7/3−11/4＋11/3。

先合併同分母：
13/4−11/4＝2/4＝1/2。
7/3＋11/3＝18/3＝6。

所以：
6＋1/2＝13/2。

逐項化簡：
1/(−3)＝−1/3。
3/(−3)²＝3/9＝1/3。
9/(−3)³＝9/(−27)＝−1/3。
27/(−3)⁴＝27/81＝1/3。
81/(−3)⁵＝81/(−243)＝−1/3。

所以：
−1/3＋1/3−1/3＋1/3−1/3。
前四項兩兩抵消，剩下：
−1/3。

先看第一項：
2/(2×3³×7²)
分子分母同除以 2：
＝1/(3³×7²)。

要變成分母 2³×3³×7²，還缺 2³＝8：
＝8/(2³×3³×7²)。

第二項：
1/(2³×3²×7)。
要變成共同分母，還缺 3×7＝21：
＝21/(2³×3³×7²)。

相減：
(8−21)/(2³×3³×7²)
＝−13/(2³×3³×7²)。

所以 A＝−13。

先比較三個數：
1 2/13 約 1.15；
2 19/51 約 2.37；
3 2/13 約 3.15。

所以第二個數介於第一、第三之間。
因此兩段距離相加，就是第一個到第三個的距離：
(3 2/13)−(1 2/13)
＝3−1
＝2。

先全部改成小數。

甲＝−4 3/8
3/8＝0.375
所以甲＝−4.375。

乙＝−4＋3/8
＝−4＋0.375
＝−3.625。

丙＝−3.375。

在負數中，越靠近 0 的數越大：
−3.375 ＞ −3.625 ＞ −4.375。

所以：
丙 ＞ 乙 ＞ 甲。

先比較三個正分數部分：
1/3、3/5、5/7。

1/3 和 3/5：
1×5＝5，3×3＝9，所以 1/3＜3/5。

3/5 和 5/7：
3×7＝21，5×5＝25，所以 3/5＜5/7。

因此：
2 1/3＜2 3/5＜2 5/7。

全部加上負號後，大小方向相反：
−2 1/3 ＞ −2 3/5 ＞ −2 5/7。

絕對值則去掉負號：
2 5/7 ＞ 2 3/5 ＞ 2 1/3。

先看與 1 的關係：
101/100＞1；
99/100＜1；
100/99＞1。

只剩比較 100/99 和 101/100。
交叉相乘：
100×100＝10000
101×99＝9999。
因為 10000＞9999，所以：
100/99＞101/100。

因此：
100/99 ＞ 101/100 ＞ 1 ＞ 99/100。

先比較它們的絕對值：
99/100＜1＜101/100＜100/99。

全部加上負號後，大小順序反過來：
−99/100 ＞ −1 ＞ −101/100 ＞ −100/99。

先比 3/19 和 2/13：
3×13＝39
2×19＝38。
39＞38，所以 3/19＞2/13。

再比 2/13 和 4/27：
2×27＝54
4×13＝52。
54＞52，所以 2/13＞4/27。

因此：
3/19 ＞ 2/13 ＞ 4/27。

全部通分成分母 60：
−11/20＝−33/60
−13/30＝−26/60
−31/60＝−31/60。

分母相同，比分子：
−26＞−31＞−33。

所以：
−13/30 ＞ −31/60 ＞ −11/20。

先約分：
6/33＝2/11
10/26＝5/13
15/21＝5/7。

5/7 和 5/13 分子相同，分母較小的較大：
5/7＞5/13。

再比 5/13 和 2/11：
5×11＝55
2×13＝26。
所以 5/13＞2/11。

因此：
15/21 ＞ 10/26 ＞ 6/33。

先約分：
−57/45＝−19/15
−63/51＝−21/17
−92/76＝−23/19。

先比較正的絕對值：
19/15、21/17、23/19。

19/15 和 21/17：
19×17＝323
21×15＝315
所以 19/15＞21/17。

21/17 和 23/19：
21×19＝399
23×17＝391
所以 21/17＞23/19。

因此絕對值：
19/15＞21/17＞23/19。
加上負號後順序反過來：
−23/19＞−21/17＞−19/15。

換回原題：
−92/76 ＞ −63/51 ＞ −57/45。

−2 2/5 是負數，＋2 2/5 是正數。
任何負數都小於任何正數。

所以：
−2 2/5＜＋2 2/5。
應回答 (3)。

先去絕對值：
|−5/4|＝5/4
|−7/6|＝7/6
|−9/8|＝9/8。

比較 5/4 和 7/6：
5×6＝30
7×4＝28
所以 5/4＞7/6。

比較 7/6 和 9/8：
7×8＝56
9×6＝54
所以 7/6＞9/8。

答案：＞，＞。

上一小題已知：
5/4＞7/6＞9/8。

全部加上負號，大小順序反過來：
−5/4＜−7/6＜−9/8。

答案：＜，＜。

把 7/3 通分成分母 6：
7/3＝14/6。

14/6＞13/6，
所以 7/3＞13/6。
答案是 ＞（回答 1）。

先比較絕對值：
3 5/6 和 3 2/3。
2/3＝4/6，
所以 3 5/6＞3 4/6。

加上負號後順序反過來：
−3 5/6＜−3 2/3。
答案是 ＜（回答 3）。

先看正分數：
7/6、7/5、7/4 分子相同。
分母越小，正分數越大：
7/6＜7/5＜7/4。

加負號後順序反過來：
−7/6＞−7/5＞−7/4。

所以填：＞，＞。

先看正分數：
2/3、3/4、4/5。

2/3 和 3/4：
2×4＝8
3×3＝9
所以 2/3＜3/4。

3/4 和 4/5：
3×5＝15
4×4＝16
所以 3/4＜4/5。

因此正分數：
2/3＜3/4＜4/5。
全部加上負號後：
−2/3＞−3/4＞−4/5。

所以填：＞，＞。